初二数学题`望高手帮忙`有高分重谢!

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/06 10:37:44
如图(图请自己画.谢!),在△ABC中,AB=AC=2,BC边上有1999个不同的点P1,P2,…P1999(P后面的数字为下标形式).记Mi(i也为下标.以下同)=APi的平方+BPi*CPi(i=1,2,…,1999),求M1+M2+…+M1999之值

大家都来看看``帮帮我``
望在2点半前给我一个正确的答案``!

设BC的中点是D
对任意的i
APi的平方+BPi*CPi
=APi^2+BD*CD-DPI*DPI
=APi^2-DPi^2+BD*CD(由勾股定理）
=AD^2+BD^2=AB^2=4
所以M1+M2+…+M1999=4×1999=7996

其实简单啦``

找了一个特殊方法，将三角形特殊化为等边三角形，那样的话答案为7996。

画等腰三角形的高，设高为h，Pi到垂足的距离为Di,底长的一半设为l
APi^2=h^2+Di^2
BPi*CPi=(l+Di)*(l-Di)=l^2-Di^2
APi^2+BPi*CPi=h^2+l^2=2^2=4
所以答案是4*1999=8000-4=7996

设BC的中点是D
对任意的i
APi的平方+BPi*CPi
=APi^2+BD*CD-DPI*DPI
=APi^2-DPi^2+BD*CD(由勾股定理）
=AD^2+BD^2=AB^2=4
所以M1+M2+…+M1999=4×1999=7996

从A向BC做 垂线AD
BD=CD
APi平方=AD平方+DPi平方
BPi*CPi=(BD-DPi)(CD+DPi)=BD平方-DPi平方
APi的平方+BPi*CPi=AD平方+BD平方=AC平方=4
M1++++M1999=1999*4=7996